Mathematician Richard Elwes duikt in zijn nieuwste boek "Huge Numbers" in de fascinerende wereld van googologie, de studie naar extreem grote getallen die het menselijk voorstellingsvermogen ver te boven gaan. Het werk biedt een toegankelijke blik op een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met getallen zo groot dat ze nauwelijks te bevatten zijn.
Menselijke beperkingen bij grote getallen
Mensen hebben van nature grote moeite met het begrijpen van excessief grote getallen, een cognitieve beperking die zijn oorsprong vindt in onze evolutionaire geschiedenis. gizmodo.com hadden onze paleolithische voorouders geen behoefte aan het verwerken van grote hoeveelheden — ze moesten slechts kleine aantallen kunnen inschatten, zoals het aantal clanleden of dieren in een bepaald gebied.
Deze beperking blijft bestaan in de moderne wereld, ondanks dat we dagelijks worden geconfronteerd met enorme cijfers. We horen dat er 7 miljard mensen op aarde leven of dat het heelal mogelijk 70 sextiljoen sterren bevat (een 1 met 21 nullen erachter), maar het werkelijk begrijpen van dergelijke groottes blijft een uitdaging.
Van googol tot onvoorstelbare groottes
De term "googol" — een 1 gevolgd door 100 nullen — werd in 1938 bedacht en is inmiddels algemeen bekend geworden, mede door het bedrijf Google dat zijn naam hiervan afleidt. Maar everything-everywhere.com gaan wiskundigen veel verder dan deze relatief bescheiden groottes.
Een illustratief voorbeeld van hoe snel getallen kunnen exploderen, komt uit het werk van logicus Harvey Friedman. Zoals beschreven op Azimuth stelde Friedman een puzzel voor over de maximale lengte van een woord met bepaalde eigenschappen. Voor een alfabet met één letter is het antwoord simpel: AAA. Voor twee letters: ABBBAAAAAAA. Maar voor drie letters wordt het antwoord "onbegrijpelijk enorm" — minstens A₇(184) letters lang, waarbij A₇ verwijst naar de zevende Ackermann-functie.
De Ackermann-functie en exponentiële groei
De Ackermann-functie illustreert hoe snel getallen kunnen groeien door recursie. De eerste Ackermann-functie verdubbelt simpelweg een getal. De tweede verheft 2 tot de macht n. De derde creëert een toren van machten. Volgens wiskundige bronnen wordt elke volgende Ackermann-functie berekend door de vorige functie herhaaldelijk toe te passen.
Wanneer we bij de zevende Ackermann-functie komen, bereiken we volgens Friedman "een diepgaand niveau van onbegrijpelijkheid". De definities zelf zijn niet onbegrijpelijk, maar de groottes die ze beschrijven overstijgen elk menselijk referentiekader.
Ramsey-theorie en asymptotische analyse
wired.com hebben wiskundigen dit jaar belangrijke doorbraken geboekt in Ramsey-theorie, die zich bezighoudt met het vermijden van wiskundige patronen. Deze resultaten richten zich op wat er gebeurt wanneer getallen oneindig groot worden — paradoxaal genoeg vaak makkelijker te analyseren dan concrete, eindige getallen.
William Gasarch van de University of Maryland merkt op dat dit een probleem is dat de hele Ramsey-theorie teistert: "Ramsey-theorie staat bekend om asymptotisch zeer mooie resultaten", maar het analyseren van getallen kleiner dan oneindig vereist een volledig andere wiskundige gereedschapskist.
Praktische toepassingen en notaties
livescience.com hebben wiskundigen speciale notaties ontwikkeld om met deze enorme getallen om te kunnen gaan. Knuth's pijl-notatie, Conway's ketting-pijlen en Bowers' array-notatie zijn slechts enkele voorbeelden van systemen die zijn ontworpen om getallen te beschrijven die anders niet eens op te schrijven zouden zijn.
Het boek "Huge Numbers" van Richard Elwes biedt lezers een toegankelijke introductie tot dit fascinerende vakgebied, waar de grenzen van het menselijk begrip en wiskundige abstractie samenkomen. Het werk laat zien hoe wiskundigen omgaan met concepten die letterlijk te groot zijn om te bevatten, maar desondanks rigoureus kunnen worden gedefinieerd en bestudeerd.